$\dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{12},\ \dfrac{7}{20},\ \dfrac{9}{15},\ \dfrac{11}{30},\ \dfrac{13}{25}$
기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 확인한다.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2^2}$ ✓ $\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{2^2 \cdot 3}$ ✗ (분모에 3)
$\dfrac{7}{20} = \dfrac{7}{2^2 \cdot 5}$ ✓ $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ ✓
$\dfrac{11}{30} = \dfrac{11}{2 \cdot 3 \cdot 5}$ ✗ (분모에 3) $\dfrac{13}{25} = \dfrac{13}{5^2}$ ✓
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3} = \dfrac{3 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \dfrac{375}{1000} = 0.375$
점 표시가 가장 왼쪽 자릿수 $2$와 가장 오른쪽 자릿수 $5$ 위에 있다. 그 사이의 모든 숫자가 반복된다.
$0.\dot{2}1\dot{5} = 0.215215215\ldots$ → 순환마디는 $215$.
$\dfrac{5}{11} = 0.\dot{4}\dot{5} = 0.454545\ldots$
주기 $2$이므로 홀수 번째 자리는 $4$, 짝수 번째 자리는 $5$.
$50$은 짝수이므로 $50$번째 자리는 $5$.
$350 = 2 \times 5^2 \times 7$. 분모에 $7$이 남아 있으면 무한소수가 된다.
$a$가 $7$의 배수이면 약분되어 분모에서 $7$이 사라진다.
가장 작은 자연수 $a$는 $\boxed{7}$.
먼저 약분: $\dfrac{21}{2^3 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{3 \times 7}{2^3 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{1}{2^3 \times 3}$.
분모에 $3$이 남아 있다. $a = 3$을 곱하면 분모가 $2^3$만 남아 유한소수가 된다.
①②③⑤는 모두 참이다.
④ 무한소수에는 순환소수(유리수)와 비순환 무한소수(무리수)가 모두 포함된다. $0.\dot{1}\dot{2}$는 무한소수이지만 유리수이다.
$100x = 54.5454\ldots$, $\ x = 0.5454\ldots$
두 식을 빼면 $\ 99x = 54$ → $100x - x = 54$.
$0.\dot{7}\dot{2} = \dfrac{72}{99} = \dfrac{72 \div 9}{99 \div 9} = \dfrac{8}{11}$.
$a = 8$.
분자 = (전체) − (비순환부) = $16 - 1 = 15$
분모 = $9 \times 1$개 $+\ 0 \times 1$개 $= 90$
$\dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$. 분모는 $\boxed{6}$.
$0.\dot{4}\dot{5} = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$, $\ 0.\dot{5}\dot{4} = \dfrac{54}{99} = \dfrac{6}{11}$.
합 = $\dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11} = \dfrac{11}{11} = 1$.
$0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$.
$\dfrac{1}{9} \times 9 = 1$.
$55 = 5 \times 11$. 분모의 $11$을 약분으로 없애야 한다.
$a$가 $11$의 배수일 때 유한소수가 된다. 가장 작은 자연수 $a = 11$.
①②⑤는 분수 꼴로 명확히 표현되므로 유리수.
③은 $0.\dot{1}\dot{2}$, 즉 순환소수이므로 유리수.
④는 무한소수이지만 순환마디가 없다(0의 개수가 1, 2, 3, …으로 늘어남) → 무리수.
$0.\dot{x}\dot{y} = \dfrac{10x+y}{99}$, $\ 0.\dot{y}\dot{x} = \dfrac{10y+x}{99}$
합 $= \dfrac{(10x+y)+(10y+x)}{99} = \dfrac{11x+11y}{99} = \dfrac{x+y}{9}$
$\dfrac{x+y}{9} = 1$ → $x + y = 9$.